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Mode und Geschenke aus dem Reich des Chaos
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Mathematischer Hintergrund

Wie funktioniert eigentlich das Erzeugen der Designs ?

Einfache mathematische Formeln ...

Zum Erzeugen der Designs wurden im Prinzip sehr einfache mathematische Formeln verwendet.


Es handelt sich um simple Gleichungen, die mit einem Startwerte-Paar x(0)|y(0) beginnen.


Daraus wird dann das nächste Wertepaar x(1)|y(1) berechnet und daraus wiederum das das nächste Wertepaar x(2)|x(2).


Dies wird hunderte Millionen Male so fortgesetzt.


Man berechnet so zum Beispiel eine Milliarde x|y-Punkte - also:

x(0)|y(0)

x(1)|y(1)

x(2)|y(2)

x(3)|y(3)

...

x(1.000.000.000)|y(1.000.000.000) 

Zählen und Einfärben ...

Die berechneten x|y-Punkte liegen dann mehr oder weniger dicht gestreut auf einer x-y-Ebene. Diese Ebene teilt man dann in ein Gitter von beispielsweise 1000 x 1000 Punkten auf. Man erhält so ein Raster mit 1.000.000 Quadraten bzw. Pixeln.

Und nun kommt der eigentlich erste simple geniale Trick der zu den wunderschönen Fraktalen führt: man ZÄHLT wie viele der berechneten x|y-Punkte sich in einem Rasterpunkt bzw. Pixel befinden (man zählt sozusagen die „Treffer“). Man erhält auf diese Weise dann Pixel (Raster-Orte auf der x|y-Ebene) , in denen gar keine, wenige, viele oder sehr viele berechnete Punkte (Treffer) liegen.

Das ergibt dann eine Skala von 0 bis beispielsweise maximal 100.000 gefundenen Werten in einem Rasterquadrat beziehungsweise Pixel. Der zweite schöne Trick besteht dann darin, dass man den Skalenwerten Farben gibt: z.B. färbt man einem Pixel bei 0 bis 10 Treffern mit weiß ein, bei 11 bis 1000 Treffern rot, bei 1001-10000 Treffer grün, bei 10001 - 100000 Treffern blau.

Glücklich gewählte Startwerte und Parameter + gute Einfärbungsstrategie ...

Mit etwas "Glück" hat man ein gutes Startwertepaar und vor allen die richtigen Parameter gewählt. Mit einer gute „Einfärbungsstrategie“ kommen dann Grafiken heraus, die so aussehen wie die Designs in sali-math-arts.

Viele Versuche zum Finden der richtigen Parameter ...

Es kann übrigens durchaus vorkommen, dass man alleine zum Finden von geeigneten  Parametern, die zu schönen Designs führen sollen, hunderte von Milliarden Versuche braucht. Einige der berechneten Designs entstanden erst nach einigen Tagen oder Wochen ununterbrochener Berechnungen.

Welche Designs sind "gut" ...

Wie stellt man aber fest ob Parameter überhaupt Kandidaten dafür sind, dass ein Design "gut" wird? Das einfachste Kriterium dafür, ob ein Design sehenswert ist, war zunächst festzustellen , ob die verwendeten Parameter und Startwerte überhaupt genügend Treffer für Pixel „erzeugen“. Die "meisten" Versuche streuen die Treffer nämlich sehr weit in einzelne Pixel der x|y-Ebene hinaus, so dass man "außer einem Nebel mit einzelnen Punkten nichts erkennen kann" - sind also unbrauchbar.

Die "Kunst" besteht daher auch und vor allem darin tatsächlich zunächst Parameter zu finden, die zu "sichtbaren" Ergebnissen führen. Ein weiterer Schritt besteht dann in der zugegebenermaßen subjektiven optischen Auswahl "schöner Designs" aus den sichtbaren Kandidaten.

Neue Gleichungen für neue Designtypen ...

In der Literatur findet man eine Vielzahl bekannter Gleichungen aus der Chaostheorie und aus der welt der seltsamene Attraktoren und Fraktale, deren geschickte Parametrierung - wie oben beschrieben - bereits zu einem gewissen Spektrum unterschiedlicher grafischer Ausprägungen für jeden Gleichungstyp führen. Solche Gleichungen habe auch ich verwendet und - wie erwähnt- mit teilweise erheblichen Rechenaufwand passende Parameter ermittelt um unterschiedliche Designs zu erhalten .

Um jedoch ganz neue Designtypen zu finden reichen Parametervariationen alleine nicht aus. Ich habe daher zum einen vorhandene Gleichungstypen modifiziert, zum anderen auch neuartige Gleichungstypen aufgestellt um neue Designtypen und Designs zu finden.

Gleichungen, die aus meiner eigenen Feder stammen bzw. die ich aus bestehenden heraus modifiziert oder erweitert habe, enthalten im Namen immer das Kürzel SALI. Alle anderen stammen aus bekannten Quellen, die ich nacheinander zum Beispiel auf einschlägigen Python-Sites, in Wikipedia oder auch in Büchern zur Chaostherie, Fraktalen oder nichtlinearen dynamischen Systemen gefunden habe.

Schicke Designs mit mathematischem Hintergrund aus der Chaostheorie verleihen somit der Mode und Geschenken ihren ganz eigenen besonderen Charme!

x(i) := f(x(i-1)|y(i-1))
y(i) := g(x(i-1)|y(i-1))

Clifford

x(i) = sin(a * y(i-1)) + c * cos(a * x(i-1))
y(i) = sin(b * x(i-1)) + d * cos(b * y(i-1))

Clifford-Designs

Bedhead

x(i) = sin(x(i-1)*y(i-1)/b)*y(i-1) + cos(a*x(i-1)-y(i-1))

y(i) = x(i-1) + sin(y(i-1))/b

Bedhead-Designs

Gumowsky Mira

x(i) = y(i-1) + a*(1 - b*y(i-1)**2)*y(i-1) + G(x(i-1), mu)
y(i) = -x(i-1) + G(x(i), mu)


G(x, mu) = mu * x + 2 * (1 - mu) * x**2 / (1.0 + x**2)

Gumowsky Mira Designs

Symmetric Icon

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1) + y(i-1)*y(i-1)
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

Symmetric Icon Designs

Symmetric Icon SALI_1

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1)+cos(y(i-1))*cos(y(i-1)) + y(i-1)*y(i-1) + cos(x(i-1))*cos(x(i-1))
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

Symmetric Icon SALI_1 Designs

Jason Rampe Sali 1

x(i) = (cos(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b))*e
y(i) = (cos(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a))*f

Jason Rampe Sali 1 Design

Svensson

x(i) = d * sin(a * x(i-1)) - sin(b * y(i-1))
x(i) = c * cos(a * x(i-1)) + cos(b * y(i-1))

Svensson Dessigns

Hopalong 2

x(i) = y(i-1) - 1.0 - sqrt(fabs(b * x(i-1) - 1.0 - c)) * sign(x(i-1) - 1.0)
y(i) = a - x(i-1) - 1.0

Hopalong 2 dessigns

Fractal Dream

x(i) = sin(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b)
y(i) = sin(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a)

Fractal Dream dessigns

weitere Gleichungen werden folgen ... in Arbeit

Über "sali-math-arts" Deutschland - Das besondere Geschenk.

Liebe Besucher, herzlich willkommen in unserer kleinen Mathematischen Kunstgalerie!

Mathematische Kunst , Kunst mit Fraktalen, Kunst mit Chaostheorie

Diese WEB-Seite gewährt Ihnen auf ungewöhnliche Weise einen Blick in die magische Welt chaostheoretischer Fraktale!

Wie kam es zu dieser Internet-Seite?

Ich hatte mir vor einiger Zeit zum Spaß eine ausgefallene chaostheoretische Grafik auf ein T-Shirt drucken lassen.
Dies erweckte scheinbar die Neugierde von ein paar Freunden, die dieses T-Shirt auffallend und inspirierend fanden.
So kam ich auf die Idee, T-Shirts mit ausgewählten Fraktalen als modischen Motiven zu bedrucken und einem interessierten Publikum anzubieten.

Weitere Geschenkartikel und Bekleidungsstücke kamen hinzu und werden mittlerweile ebenfalls mit ausgefallenen Druckdesigns aus der Chaostheorie angeboten.

So entstand die Idee des online-shops „sali-math-arts“ - Das besondere Geschenk.

Mit ausgewählten Fraktalen werden einzigartige modische Motive erzeugt, die man nirgendwo sonst findet!

Bei uns finden sie eine ständig wachsende Auswahl modischer Designs auf T-Shirts, Hoodies, Kapuzenshirts, Polo-Shirts oder Babybekleidung.

Im Universum des Chaos und der Ordnung finden sie ungewöhnliche Designs für Geschenke und Accessoires.

Entdecken sie Aquarelle, Mandalas und Schöpfungen, die Meerestieren, Vögeln oder Pflanzen frappierend ähnlichsehen und die scheinbar wie zufällig aus dem Chaos auftauchen!

Lassen Sie sich überraschen und werfen Sie einen Blick in die fantastische Welt sichtbar gemachter Bilder aus der Quantentheorie, der Heisenbergschen Unschärferelation oder der dynamischen Systeme.

Wir freuen uns sehr über Ihren Besuch wünschen Ihnen viel Spass am Chaos, an unseren Designs und Produkten!

Unser Team

DARIUS

Physik Student


unterstützt mit Ideen + Programierung


DAGMAR

Kreativdirektorin


Kreativdirektorin von sali-math-arts

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Mathematiker, Designer


unterstützt mathematisch bei der Design-Erstellung

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