Zum Erzeugen der Designs wurden im Prinzip sehr einfache mathematische Formeln verwendet.
Es handelt sich um simple Gleichungen, die mit einem Startwerte-Paar x(0)|y(0) beginnen.
Daraus wird dann das nächste Wertepaar x(1)|y(1) berechnet und daraus wiederum das das nächste Wertepaar x(2)|x(2).
Dies wird hunderte Millionen Male so fortgesetzt.
Man berechnet so zum Beispiel eine Milliarde x|y-Punkte - also:
x(0)|y(0)
x(1)|y(1)
x(2)|y(2)
x(3)|y(3)
...
x(1.000.000.000)|y(1.000.000.000)
Die berechneten x|y-Punkte liegen dann mehr oder weniger dicht gestreut auf einer x-y-Ebene. Diese Ebene teilt man dann in ein Gitter von beispielsweise 1000 x 1000 Punkten auf. Man erhält so ein Raster mit 1.000.000 Quadraten bzw. Pixeln.
Und nun kommt der eigentlich erste simple geniale Trick der zu den wunderschönen Fraktalen führt: man ZÄHLT wie viele der berechneten x|y-Punkte sich in einem Rasterpunkt bzw. Pixel befinden (man zählt sozusagen die „Treffer“). Man erhält auf diese Weise dann Pixel (Raster-Orte auf der x|y-Ebene) , in denen gar keine, wenige, viele oder sehr viele berechnete Punkte (Treffer) liegen.
Das ergibt dann eine Skala von 0 bis beispielsweise maximal 100.000 gefundenen Werten in einem Rasterquadrat beziehungsweise Pixel. Der zweite schöne Trick besteht dann darin, dass man den Skalenwerten Farben gibt: z.B. färbt man einem Pixel bei 0 bis 10 Treffern mit weiß ein, bei 11 bis 1000 Treffern rot, bei 1001-10000 Treffer grün, bei 10001 - 100000 Treffern blau.
Mit etwas "Glück" hat man ein gutes Startwertepaar und vor allen die richtigen Parameter gewählt. Mit einer gute „Einfärbungsstrategie“ kommen dann Grafiken heraus, die so aussehen wie die Designs in sali-math-arts.
Es kann übrigens durchaus vorkommen, dass man alleine zum Finden von geeigneten Parametern, die zu schönen Designs führen sollen, hunderte von Milliarden Versuche braucht. Einige der berechneten Designs entstanden erst nach einigen Tagen oder Wochen ununterbrochener Berechnungen.
Wie stellt man aber fest ob Parameter überhaupt Kandidaten dafür sind, dass ein Design "gut" wird? Das einfachste Kriterium dafür, ob ein Design sehenswert ist, war zunächst festzustellen , ob die verwendeten Parameter und Startwerte überhaupt genügend Treffer für Pixel „erzeugen“. Die "meisten" Versuche streuen die Treffer nämlich sehr weit in einzelne Pixel der x|y-Ebene hinaus, so dass man "ausser einem Nebel mit einzelnen Punkten nichts erkennen kann" - sind also unbrauchbar.
Die "Kunst" besteht daher auch und vor allem darin tatsächlich zunächst Parameter zu finden, die zu "sichtbaren" Ergebnissen führen. Ein weiterer Schritt besteht dann in der zugegebenermaßen subjektiven optischen Auswahl "schöner Designs" aus den sichtbaren Kandidaten.
In der Literatur findet man eine Vielzahl bekannter Gleichungen aus der Chaostheorie und aus der welt der seltsamene Attraktoren und Fraktale, deren geschickte Parametrierung - wie oben beschrieben - bereits zu einem gewissen Spektrum unterschiedlicher grafischer Ausprägungen für jeden Gleichungstyp führen. Solche Gleichungen habe auch ich verwendet und - wie erwähnt- mit teilweise erheblichen Rechenaufwand passende Parameter ermittelt um unterschiedliche Designs zu erhalten .
Um jedoch ganz neue Designtypen zu finden reichen Parametervariationen alleine nicht aus. Ich habe daher zum einen vorhandene Gleichungstypen modifiziert, zum anderen auch neuartige Gleichungstypen aufgestellt um neue Designtypen und Designs zu finden.
Gleichungen, die aus meiner eigenen Feder stammen bzw. die ich aus bestehenden heraus modifiziert oder erweitert habe, enthalten im Namen immer das Kürzel SALI. Alle anderen stammen aus bekannten Quellen, die ich nacheinander zum Beispiel auf einschlägigen Python-Sites, in Wikipedia oder auch in Büchern zur Chaostherie, Fraktalen oder nichtlinearen dynamischen Systemen gefunden habe.
x(i) = sin(a * y(i-1)) + c * cos(a * x(i-1))
y(i) = sin(b * x(i-1)) + d * cos(b * y(i-1))
x(i) = sin(x(i-1)*y(i-1)/b)*y(i-1) + cos(a*x(i-1)-y(i-1))
y(i) = x(i-1) + sin(y(i-1))/b
x(i) = y(i-1) + a*(1 - b*y(i-1)**2)*y(i-1) + G(x(i-1), mu)
y(i) = -x(i-1) + G(x(i), mu)
G(x, mu) = mu * x + 2 * (1 - mu) * x**2 / (1.0 + x**2)
zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1) + y(i-1)*y(i-1)
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)
for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)
zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)
x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)
zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1)+cos(y(i-1))*cos(y(i-1)) + y(i-1)*y(i-1) + cos(x(i-1))*cos(x(i-1))
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)
for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)
zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)
x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)
x(i) = (cos(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b))*e
y(i) = (cos(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a))*f
x(i) = d * sin(a * x(i-1)) - sin(b * y(i-1))
x(i) = c * cos(a * x(i-1)) + cos(b * y(i-1))
x(i) = y(i-1) - 1.0 - sqrt(fabs(b * x(i-1) - 1.0 - c)) * sign(x(i-1) - 1.0)
y(i) = a - x(i-1) - 1.0
x(i) = sin(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b)
y(i) = sin(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a)
Die Idee dieser WEB-Seite ist es den Besuchern die Schönheit und Ausstrahlung zu zeigen , die der Magie von Chaostheoretischer Fraktale innewohnt - die sonst vor allem für Berechnungen wie beispielsweise Turbulenzen, Wetter oder auch zur Berechnung von Wirtschaftskreisläufen verwendet werden.
Schönheit in der Mathematik und in der Physik zeigt sich in den Fraktalen und seltsamen Attraktoren der Chaostheorie: jedes hat seine ganz eigene Ausstrahlung, Phantasie und Botschaft aus dem Universum des Chaos und der Ordnung.
Die Vielfalt der entstehenden mathematischen Kunstwerke zeigt sich in unterschiedlichsten Bildern, Aquarellen, Mandalas oder auch in fast wesenhaften Schöpfungen, welche Meerestieren, Vögeln oder Pflanzen manchmal frappierend ähnlich sehen.
Lassen Sie sich überraschen und werfen Sie einen Blick in die phantastische und phantasievolle Welt der sichtbar gemachten Bilder aus der Quantentheorie, der Heisenbergschen Unschärferelation oder der dynamischen Systeme.
Die gezeigten Motive bilden eine (kleine) Auswahl dessen, was durch ausgewählte Parameter in physikalischen oder mathematischen Systemen scheinbar fast wie zufällig entsteht. Allerdings sind meist sehr viele Versuche notwendig, um auf wirklich interessante und sehenswerte Ergebnisse zu stoßen.
Die Idee dieser WEB-Seite ist es den Besuchern die Eleganz , Anmut und Ausstrahlung erfahrbar und sichtbar zu machen, die gewissermaßen der Magie von Schmetterlingseffekten und diversen Musterbildungsprozessen innewohnt - die eigentlich für ganz andere Dinge wie Berechnungen wie beispielsweise Turbulenzen, Wetter oder auch zur Berechnung von Wirtschaftskreisläufen verwendet werden.
Für mich als Mathematiker war und ist es aber besonders spannend und überraschend, dass die meist so trockenen Berechnungen, die man auch bei chaostheoretischen Betrachtungen viele hunderte Millionen Mal (natürlich Computer gestützt) durchführen muss um (hoffentlich) zufriedenstellende Ergebnisse zu finden, die scheinbar wie aus dem Nichts heraus und wie zufällig so eindrucksvolle und variantenreiche Kreationen herbei zaubern können.
Ich dachte deswegen, dass diese vielleicht auch für viele andere Menschen sehenswert sind – und dass die Mathematik und Physik auch sehr viel Schönheit verbergen, die man gewöhnlich gar nicht kennt oder vermutet. Natürlich liegt die Schönheit eines jeden Kunstwerkes immer im Auge des jeweiligen Betrachters.
Es würde mich jedenfalls sehr freuen, wenn auch Ihnen das eine oder andere so entstandene Designs gefallen würde.
Physik Student
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Kreativdirektorin von sali-math-arts
Mathematiker, Designer
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