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Fondo matemático

¿Cómo funciona realmente la creación de los diseños?

Fórmulas matemáticas simples ...

En principio, se utilizaron fórmulas matemáticas muy simples para generar los diseños.


Estas son ecuaciones simples que comienzan con un par de valores iniciales x (0) | y (0).


El siguiente par de valores x (1) | y (1) se calcula a partir de esto, y de esto, a su vez, el siguiente par de valores x (2) | x (2).


Esto continúa cientos de millones de veces.


Por ejemplo, uno calcula mil millones de puntos x | y, entonces:

x(0)|y(0)

x(1)|y(1)

x(2)|y(2)

x(3)|y(3)

...

x(1.000.000.000)|y(1.000.000.000) 

Contando y coloreando ...

Los puntos x | y calculados se dispersan más o menos densamente en un plano x-y. Este nivel se divide luego en una cuadrícula de, por ejemplo, 1000 x 1000 puntos. Obtienes una cuadrícula con 1,000,000 cuadrados o píxeles.

Y ahora viene el primer truco ingenioso y realmente simple que conduce a los fractales maravillosos: CUENTA cuántos de los puntos x | y calculados están en un punto de cuadrícula o píxel (cuenta los "aciertos", por así decirlo). De esta forma, se obtienen píxeles (ubicaciones de la cuadrícula en el plano x | y) en los que no hay, pocos, muchos o muchos puntos calculados (aciertos).

Esto luego da como resultado una escala de 0 a, por ejemplo, un máximo de 100.000 valores encontrados en un cuadrado de cuadrícula o píxel. El segundo buen truco es dar colores a los valores de escala: p. Ej. Colorea un píxel con 0 a 10 golpes con blanco, con 11 a 1000 golpes rojo, con 1001-10000 golpes verde, con 10001-100000 golpes azul.

Valores y parámetros iniciales bien elegidos + buena estrategia de coloración ...

Con un poco de "suerte" tendrás un buen par de valores iniciales y, sobre todo, los parámetros correctos. Con una buena “estrategia de coloración”, obtendrás gráficos que se parecen a los diseños de sali-math-arts.

Muchos intentos para encontrar los parámetros correctos ...

Por cierto, puede suceder que necesite cientos de miles de millones de intentos solo para encontrar los parámetros adecuados que deberían conducir a diseños hermosos. Algunos de los diseños calculados tomaron unos días o semanas de cálculos ininterrumpidos.

Qué diseños son "buenos" ...

Pero, ¿cómo se determina si los parámetros son realmente candidatos para que un diseño sea "bueno"? El criterio más simple para determinar si vale la pena ver un diseño fue inicialmente determinar si los parámetros y valores iniciales usados ​​"generan" suficientes hits para píxeles. La mayoría de los intentos dispersan los impactos muy lejos en píxeles individuales del plano x | y, de modo que "aparte de una niebla con puntos individuales no se puede ver nada"; por lo tanto, son inútiles.

El "arte", por lo tanto, también y sobre todo consiste en encontrar inicialmente parámetros que conduzcan a resultados "visibles". Un paso más consiste entonces en la selección óptica ciertamente subjetiva de "hermosos diseños" de los candidatos visibles.

Nuevas ecuaciones para nuevos tipos de diseño ...

En la literatura se pueden encontrar multitud de ecuaciones conocidas de la teoría del caos y del mundo de los atractores extraños y fractales, cuya hábil parametrización, como se describió anteriormente, ya conduce a un cierto espectro de características gráficas diferentes para cada tipo de ecuación. También he utilizado estas ecuaciones y, como se ha mencionado, he determinado parámetros adecuados con un esfuerzo de cálculo a veces considerable para obtener diseños diferentes.

Sin embargo, para encontrar tipos de diseño completamente nuevos, las variaciones de parámetros por sí solas no son suficientes. Así que modifiqué los tipos de ecuaciones existentes por un lado, y configuré nuevos tipos de ecuaciones por el otro para encontrar nuevos tipos de diseño y diseños.

Las ecuaciones que provienen de mi propia pluma o que he modificado o expandido de las existentes siempre contienen la abreviatura SALI en el nombre. Todos los demás provienen de fuentes conocidas que he encontrado una tras otra, por ejemplo, en sitios relevantes de Python, en Wikipedia o en libros sobre caos, fractales o sistemas dinámicos no lineales.

O continuar con las ecuaciones ...

x(i) := f(x(i-1)|y(i-1))
y(i) := g(x(i-1)|y(i-1))

Clifford

x(i) = sin(a * y(i-1)) + c * cos(a * x(i-1))
y(i) = sin(b * x(i-1)) + d * cos(b * y(i-1))

diseños de Clifford

Juego de colores en las trayectorias de Clifford
Par desigual de gemelos verdes en el viento
Corrientes del corazón

Bedhead

x(i) = sin(x(i-1)*y(i-1)/b)*y(i-1) + cos(a*x(i-1)-y(i-1))

y(i) = x(i-1) + sin(y(i-1))/b

diseños de Bedhead

Alguien tiene prisa dama elegante
Torbellino de agua helada caótica
Feliz juego de colores

Gumowsky Mira

x(i) = y(i-1) + a*(1 - b*y(i-1)**2)*y(i-1) + G(x(i-1), mu)
y(i) = -x(i-1) + G(x(i), mu)


G(x, mu) = mu * x + 2 * (1 - mu) * x**2 / (1.0 + x**2)

diseños de Gumowsky Mira

Bribones Estrella de mar Erizo de mar Animales marinos
Ave del paraíso Ícaro
volante verde Estrella de mar verde

Symmetric Icon

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1) + y(i-1)*y(i-1)
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

diseños de Symmetric Icon 

Estrella de mar Erizo de mar Animales marinos
Estrella de la flor de Pascua Mandala estrella de la suerte
Boomerang colorido estrella de mar animal marino

Symmetric Icon SALI_1

diseños de Symmetric Icon SALI_1 

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1)+cos(y(i-1))*cos(y(i-1)) + y(i-1)*y(i-1) + cos(x(i-1))*cos(x(i-1))
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

Abanico en espiral amonita fósil animal prehistórico
estrella de mar Amonita Animal primigenio
fuego de vida giratorio

Jason Rampe Sali 1

x(i) = (cos(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b))*e
y(i) = (cos(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a))*f

diseños de Jason Rampe Sali 1 

Fuego abierto fogata llamas llameantes
Color viento colorido caos acuarela

Svensson

x(i) = d * sin(a * x(i-1)) - sin(b * y(i-1))
x(i) = c * cos(a * x(i-1)) + cos(b * y(i-1))

diseños de Svensson 

Armonía en el océano de los elementos
Vientos del corazón

Hopalong 2

x(i) = y(i-1) - 1.0 - sqrt(fabs(b * x(i-1) - 1.0 - c)) * sign(x(i-1) - 1.0)
y(i) = a - x(i-1) - 1.0

diseños de Hopalong 2

Tejido de esmeralda hecho a partir del caos
alegre diamante azul

Fractal Dream

x(i) = sin(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b)
y(i) = sin(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a)

diseños de Fractal Dream

Signo secreto de la teoría del caos
Ojo en el infierno
caminos brillantes

seguirán más ecuaciones ... en progreso

Acerca de sali-math-arts

La idea de esta página WEB es mostrar a los visitantes la belleza y el carisma inherentes a la magia de los fractales teóricos del caos, que de otro modo se utilizan principalmente para cálculos como turbulencias, clima o para calcular ciclos económicos.

¡Bienvenido a mi pequeña galería de arte matemático!

La belleza de las matemáticas y la física se puede ver en los fractales y atractores extraños de la teoría del caos: cada uno tiene su propio carisma, fantasía y mensaje del universo del caos y el orden.


La diversidad de las obras de arte matemáticas que surgen se puede ver en los más variados cuadros, acuarelas, mandalas o incluso en creaciones casi imprescindibles que a veces se parecen sorprendentemente a animales marinos, aves o plantas.


Déjese sorprender y eche un vistazo al mundo fantástico e imaginativo de las imágenes visualizadas de la teoría cuántica, el principio de incertidumbre de Heisenberg o los sistemas dinámicos.


Los motivos mostrados forman una selección (pequeña) de lo que parece aparecer casi al azar a través de parámetros seleccionados en sistemas físicos o matemáticos. Sin embargo, normalmente son necesarios muchos intentos para encontrar resultados realmente interesantes y dignos de ver.


La idea de esta página WEB es hacer que la elegancia, la gracia y el carisma sean tangibles y visibles para los visitantes, lo cual es inherente a la magia de los efectos de mariposa y varios procesos de formación de patrones, que en realidad se utilizan para cosas completamente diferentes, como cálculos como turbulencia, clima o cálculos. utilizado por los ciclos económicos.


Para mí, como matemático, sin embargo, fue y es particularmente emocionante y sorprendente que los cálculos en su mayoría tan áridos que tienes que realizar cientos de millones de veces (por supuesto con ayuda de computadora) para (con suerte) encontrar resultados satisfactorios que parecen de la nada y cómo por casualidad pueden surgir creaciones tan impresionantes y variadas.


Así que pensé que también valdría la pena verlos para muchas otras personas, y que las matemáticas y la física también esconden mucha belleza que uno generalmente no conoce o sospecha. Por supuesto, la belleza de cualquier obra de arte está siempre en el ojo del espectador.


En cualquier caso, estaría muy feliz si quisiera uno u otro de los diseños que se han creado de esta manera.

Nuestro equipo

DARIUS

Estudiante de física


apoyado con ideas + programación


DAGMAR

Director creativo


Director creativo de sali-math-arts

FRIEDRICH

Matemático, diseñador


apoya matemáticamente la creación del diseño

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