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belles conceptions mathématiques de la théorie du chaos

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Contexte mathématique

Comment fonctionne réellement la création des designs?

Formules mathématiques simples ...

En principe, des formules mathématiques très simples ont été utilisées pour générer les dessins.

Ce sont des équations simples qui commencent par une paire de valeurs de départ x (0) | y (0).

La prochaine paire de valeurs x (1) | y (1) est alors calculée à partir de cela, et à partir de cela à son tour la prochaine paire de valeurs x (2) | x (2).

Cela continue des centaines de millions de fois. Par exemple, on calcule un milliard de points x | y - donc:

x(0)|y(0)

x(1)|y(1)

x(2)|y(2)

x(3)|y(3)

...

x(1.000.000.000)|y(1.000.000.000)

Compter et colorier ...

Les points x | y calculés sont alors plus ou moins densément dispersés sur un plan x-y. Ce niveau est ensuite divisé en une grille de, par exemple, 1000 x 1000 points. Vous obtenez une grille de 1 000 000 de carrés ou de pixels.

Et maintenant vient la première astuce ingénieuse simple qui mène aux merveilleuses fractales: vous COMPTEZ combien de points x | y calculés se trouvent dans un point de grille ou un pixel (vous comptez les "hits", pour ainsi dire). De cette manière, des pixels (emplacements de la grille sur le plan x | y) sont obtenus dans lesquels se trouvent pas, peu, beaucoup ou très nombreux points calculés (hits).

Il en résulte alors une échelle de 0 à, par exemple, un maximum de 100 000 valeurs trouvées dans un carré ou un pixel de la grille. La deuxième astuce consiste à donner des couleurs aux valeurs d'échelle: par ex. Vous colorez un pixel avec 0 à 10 coups avec du blanc, avec 11 à 1000 coups en rouge, avec 1001-10000 coups en vert, avec 10001-100000 coups en bleu.

Valeurs et paramètres de départ bien choisis + bonne stratégie de coloration ...

Avec un peu de "chance", vous aurez une bonne paire de valeurs de départ et, surtout, les bons paramètres. Avec une bonne «stratégie de coloration», vous obtiendrez des graphiques qui ressemblent aux dessins de sali-math-arts.

De nombreuses tentatives pour trouver les bons paramètres ...

Incidemment, il peut arriver que vous ayez besoin de centaines de milliards de tentatives juste pour trouver des paramètres appropriés qui devraient conduire à de beaux designs. Certaines des conceptions calculées ont nécessité quelques jours ou semaines de calculs ininterrompus.

Quels designs sont "bons" ...

Mais comment déterminez-vous si les paramètres sont réellement candidats pour qu'une conception soit «bonne»? Le critère le plus simple pour déterminer si un dessin vaut la peine d'être vu était initialement de déterminer si les paramètres et les valeurs de départ utilisés "génèrent" suffisamment de résultats pour les pixels. Les tentatives «les plus» à savoir dispersent les coups très loin dans des pixels individuels du plan x | y, de sorte que «à part un brouillard avec des points individuels, on ne puisse rien voir» - ils sont donc inutiles.

L '«art» consiste donc aussi et surtout à trouver dans un premier temps des paramètres qui conduisent à des résultats «visibles». Une étape supplémentaire consiste alors en la sélection optique, certes subjective, de «beaux dessins» parmi les candidats visibles.

Nouvelles équations pour de nouveaux types de conception ...

Dans la littérature, vous pouvez trouver une multitude d'équations bien connues de la théorie du chaos et du monde des attracteurs étranges et des fractales, dont le paramétrage habile - comme décrit ci-dessus - conduit déjà à un certain spectre de caractéristiques graphiques différentes pour chaque type d'équation. J'ai également utilisé de telles équations et - comme mentionné - déterminé des paramètres appropriés avec parfois un effort de calcul considérable afin d'obtenir des conceptions différentes.

Cependant, pour trouver des types de conception complètement nouveaux, les variations de paramètres ne suffisent pas à elles seules. J'ai donc modifié les types d'équations existants d'une part, et mis en place de nouveaux types d'équations d'autre part afin de trouver de nouveaux types de conception et conceptions.

Les équations qui proviennent de mon propre stylo ou que j'ai modifiées ou développées à partir des équations existantes contiennent toujours l'abréviation SALI dans le nom. Tous les autres proviennent de sources bien connues que j'ai trouvées les unes après les autres, par exemple sur des sites Python pertinents, sur Wikipédia ou dans des livres sur le chaos, les fractales ou les systèmes dynamiques non linéaires.

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Ou continuez avec les équations ...

x(i) := f(x(i-1)|y(i-1))
y(i) := g(x(i-1)|y(i-1))

Clifford

x(i) = sin(a * y(i-1)) + c * cos(a * x(i-1))
y(i) = sin(b * x(i-1)) + d * cos(b * y(i-1))

Dessins de Clifford

Jeu de couleurs des trajectories Clifford aquarelle

Paire inégale de jumeaux verts dans le vent

Bedhead

x(i) = sin(x(i-1)*y(i-1)/b)*y(i-1) + cos(a*x(i-1)-y(i-1))

y(i) = x(i-1) + sin(y(i-1))/b

Dessins de Bedhead

Gumowsky Mira

x(i) = y(i-1) + a*(1 - b*y(i-1)**2)*y(i-1) + G(x(i-1), mu)
y(i) = -x(i-1) + G(x(i), mu)

G(x, mu) = mu * x + 2 * (1 - mu) * x**2 / (1.0 + x**2)

Dessins de Gumowsky Mira

Rascal Étoile de mer oursin Animaux marins

Symmetric Icon

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1) + y(i-1)*y(i-1)
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

Dessins de Symmetric Icon

Symmetric Icon SALI_1

Dessins de Symmetric Icon SALI_1

zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1)+cos(y(i-1))*cos(y(i-1)) + y(i-1)*y(i-1) + cos(x(i-1))*cos(x(i-1))
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)

for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)

zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)

x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)

Jason Rampe Sali 1

x(i) = (cos(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b))*e
y(i) = (cos(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a))*f

Dessins de Jason Rampe Sali 1

Feu ouvert feu de camp flammes enflammées

Svensson

x(i) = d * sin(a * x(i-1)) - sin(b * y(i-1))
x(i) = c * cos(a * x(i-1)) + cos(b * y(i-1))

Dessins de Svensson

Hopalong 2

x(i) = y(i-1) - 1.0 - sqrt(fabs(b * x(i-1) - 1.0 - c)) * sign(x(i-1) - 1.0)
y(i) = a - x(i-1) - 1.0

Dessins de Hopalong 2

Fractal Dream

x(i) = sin(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b)
y(i) = sin(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a)

Dessins de Fractal Dream

d'autres équations suivront ... en construction

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à propos de sali-math-arts

L'idée de cette page WEB est de montrer aux visiteurs la beauté et le charisme inhérents à la magie des fractales théoriques du chaos - qui sont par ailleurs principalement utilisées pour des calculs tels que la turbulence, la météo ou pour le calcul des cycles économiques.

Bienvenue dans ma petite galerie d'art mathématique!

La beauté en mathématiques et en physique peut être vue dans les fractales et les attracteurs étranges de la théorie du chaos: chacun a son propre charisme, fantaisie et message de l'univers du chaos et de l'ordre.

La diversité des œuvres d'art mathématiques qui en émerge se retrouve dans les tableaux les plus variés, les aquarelles, les mandalas ou même dans des créations presque essentielles qui ressemblent parfois de façon frappante à des animaux marins, des oiseaux ou des plantes.

Laissez-vous surprendre et jetez un œil dans le monde fantastique et imaginatif des images visualisées de la théorie quantique, du principe d'incertitude de Heisenberg ou des systèmes dynamiques.

Les motifs présentés forment une (petite) sélection de ce qui semble apparaître presque au hasard à travers des paramètres sélectionnés dans des systèmes physiques ou mathématiques. Cependant, de nombreuses tentatives sont généralement nécessaires pour obtenir des résultats vraiment intéressants et qui valent la peine d'être vus.

L'idée de cette page WEB est de rendre tangible et visible l'élégance, la grâce et le charisme pour les visiteurs, ce qui est inhérent à la magie des effets papillon et à divers processus de formation de motifs - qui sont en fait utilisés pour des choses complètement différentes telles que des calculs tels que la turbulence, la météo ou aussi pour le calcul utilisé par les cycles économiques.

Pour moi en tant que mathématicien, cependant, c'était et est particulièrement excitant et surprenant que les calculs le plus souvent si secs que vous devez effectuer des centaines de millions de fois (bien sûr assistés par ordinateur) afin de (espérons-le) trouver des résultats satisfaisants qui semblent sorti de nulle part et comment par hasard des créations aussi impressionnantes et variées peuvent surgir.

J'ai donc pensé que cela valait peut-être la peine d'être vu pour beaucoup d'autres personnes - et que les mathématiques et la physique cachent également beaucoup de beauté que l'on ne connaît généralement pas ou ne soupçonne pas. Bien sûr, la beauté de toute œuvre d'art est toujours dans l'œil du spectateur.

Dans tous les cas, je serais très heureux si vous aimeriez l'un ou l'autre des designs qui ont été créés de cette manière.

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