In linea di principio, per generare i progetti sono state utilizzate formule matematiche molto semplici.
Queste sono semplici equazioni che iniziano con una coppia di valori iniziali x (0) | y (0).
La successiva coppia di valori x (1) | y (1) viene quindi calcolata da questo, e da questo la successiva coppia di valori x (2) | x (2).
Questo continua centinaia di milioni di volte.
Ad esempio, si calcola un miliardo di punti x | y, quindi:
x(0)|y(0)
x(1)|y(1)
x(2)|y(2)
x(3)|y(3)
...
x(1.000.000.000)|y(1.000.000.000)
I punti x | y calcolati vengono quindi distribuiti più o meno densamente su un piano x-y. Questo livello viene quindi suddiviso in una griglia di, ad esempio, 1000 x 1000 punti. Ottieni una griglia con 1.000.000 di quadrati o pixel.
E ora arriva il primo semplice trucco geniale che porta ai meravigliosi frattali: CONTI quanti dei punti x | y calcolati sono in un punto della griglia o in un pixel (conti i "colpi", per così dire). In questo modo si ottengono pixel (posizioni della griglia sul piano x | y) in cui giacciono non, pochi, molti o moltissimi punti calcolati (hit).
Ciò si traduce quindi in una scala da 0 a, ad esempio, un massimo di 100.000 valori trovati in un quadrato o pixel della griglia. Il secondo bel trucco è dare colori ai valori di scala: ad es. Si colora un pixel da 0 a 10 colpi con il bianco, da 11 a 1000 colpi in rosso, con 1001-10000 colpi in verde, con 10001-100000 colpi in blu.
Con un po 'di "fortuna" avrete una buona coppia di valori di partenza e, soprattutto, i giusti parametri. Con una buona "strategia di colorazione", otterrai una grafica che assomiglia ai disegni delle arti sali-matematiche.
Per inciso, può succedere che abbiate bisogno di centinaia di miliardi di tentativi solo per trovare parametri adeguati che dovrebbero portare a bellissimi progetti. Alcuni dei progetti calcolati hanno richiesto alcuni giorni o settimane di calcoli ininterrotti.
Ma come si determina se i parametri sono effettivamente candidati affinché un progetto sia "buono"? Il criterio più semplice per stabilire se valeva la pena vedere un disegno era inizialmente determinare se i parametri ei valori iniziali utilizzati "generassero" abbastanza hit per i pixel. La "maggior parte" dei tentativi è quella di disperdere i colpi molto lontano nei singoli pixel del piano x | y, in modo che "a parte una nebbia con singoli punti non si possa vedere nulla" - sono quindi inutili.
L '"arte" quindi consiste anche e soprattutto nel trovare inizialmente parametri che portino a risultati "visibili". Un ulteriore passo consiste quindi nella selezione ottica, dichiaratamente soggettiva, di "bei disegni" tra i candidati visibili.
In letteratura è possibile trovare una moltitudine di equazioni ben note dalla teoria del caos e dal mondo degli strani attrattori e frattali, la cui abile parametrizzazione - come sopra descritto - porta già ad un certo spettro di caratteristiche grafiche differenti per ogni tipo di equazione. Ho anche usato tali equazioni e - come detto - ho determinato parametri adatti con uno sforzo di calcolo a volte considerevole per ottenere disegni diversi.
Tuttavia, per trovare tipi di design completamente nuovi, le variazioni dei parametri da sole non sono sufficienti. Quindi ho modificato i tipi di equazioni esistenti da un lato e impostato nuovi tipi di equazioni dall'altro per trovare nuovi tipi di design e design.
Le equazioni che provengono dalla mia penna o che ho modificato o ampliato da quelle esistenti contengono sempre l'abbreviazione SALI nel nome. Tutti gli altri provengono da fonti note che ho trovato una dopo l'altra, ad esempio su siti Python rilevanti, in Wikipedia o in libri sul caos, frattali o sistemi dinamici non lineari.
x(i) = sin(a * y(i-1)) + c * cos(a * x(i-1))
y(i) = sin(b * x(i-1)) + d * cos(b * y(i-1))
x(i) = sin(x(i-1)*y(i-1)/b)*y(i-1) + cos(a*x(i-1)-y(i-1))
y(i) = x(i-1) + sin(y(i-1))/b
x(i) = y(i-1) + a*(1 - b*y(i-1)**2)*y(i-1) + G(x(i-1), mu)
y(i) = -x(i-1) + G(x(i), mu)
G(x, mu) = mu * x + 2 * (1 - mu) * x**2 / (1.0 + x**2)
zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1) + y(i-1)*y(i-1)
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)
for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)
zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)
x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)
zzbar(i) = x(i-1)*x(i-1)+cos(y(i-1))*cos(y(i-1)) + y(i-1)*y(i-1) + cos(x(i-1))*cos(x(i-1))
p(i) = a*zzbar(i) + l
zreal(i) = x(i)
zimag(i) = y(i)
for k in range(1, d-1):
za(i) = zreal(i) * x(i) - zimag(i) * y(i)
zb(i) = zimag(i) * x(i) + zreal(i) * y(i)
zreal(i) = za(i)
zimag(i) = zb(i)
zn(i) = x(i)*zreal(i) - y(i)*zimag(i)
p(i) = p(i) + b*zn(i)
x(i) = p(i)*x(i-1) + g*zreal(i) - om*y(i-1)
y(i) = p(i)*y(i-1) - g*zimag(i) + om*x(i-1)
x(i) = (cos(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b))*e
y(i) = (cos(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a))*f
x(i) = d * sin(a * x(i-1)) - sin(b * y(i-1))
x(i) = c * cos(a * x(i-1)) + cos(b * y(i-1))
x(i) = y(i-1) - 1.0 - sqrt(fabs(b * x(i-1) - 1.0 - c)) * sign(x(i-1) - 1.0)
y(i) = a - x(i-1) - 1.0
x(i) = sin(y(i-1)*b)+c*sin(x(i-1)*b)
y(i) = sin(x(i-1)*a)+d*sin(y(i-1)*a)
L'idea di questa pagina WEB è di mostrare ai visitatori la bellezza e il carisma insiti nella magia dei frattali teorici del caos - che sono altrimenti utilizzati principalmente per calcoli come turbolenze, condizioni meteorologiche o per calcolare i cicli economici.
La bellezza in matematica e fisica può essere vista nei frattali e negli strani attrattori della teoria del caos: ognuno ha il proprio carisma, fantasia e messaggio dall'universo del caos e dell'ordine.
La diversità delle opere d'arte matematiche che emerge può essere vista nelle più svariate immagini, acquerelli, mandala o anche in creazioni quasi essenziali che a volte sembrano sorprendentemente simili ad animali marini, uccelli o piante.
Lasciati sorprendere e dai uno sguardo al mondo fantastico e fantasioso delle immagini visualizzate dalla teoria quantistica, dal principio di indeterminazione di Heisenberg o dai sistemi dinamici.
I motivi mostrati formano una (piccola) selezione di ciò che sembra apparire quasi casualmente attraverso parametri selezionati in sistemi fisici o matematici. Tuttavia, di solito sono necessari molti tentativi per ottenere risultati davvero interessanti e da vedere.
L'idea di questa pagina WEB è di rendere l'eleganza, la grazia e il carisma tangibili e visibili ai visitatori, che è inerente alla magia degli effetti farfalla e dei vari processi di formazione del modello - che sono in realtà utilizzati per cose completamente diverse come calcoli come turbolenza, tempo atmosferico o per il calcolo utilizzato dai cicli economici.
Per me come matematico, tuttavia, è stato ed è particolarmente eccitante e sorprendente che i calcoli per lo più così aridi che devi eseguire centinaia di milioni di volte (ovviamente assistiti dal computer) per (si spera) trovare risultati soddisfacenti che sembrano dal nulla e come per caso possano evocare creazioni così imponenti e varie.
Ho quindi pensato che valesse la pena vederli anche per molte altre persone e che la matematica e la fisica nascondessero anche molte bellezze che di solito non si conoscono o si sospettano. Naturalmente, la bellezza di qualsiasi opera d'arte è sempre negli occhi di chi guarda.
In ogni caso, sarei molto felice se volessi uno o l'altro dei disegni che sono stati creati in questo modo.
Studente di fisica
supportato con idee + programmazione
Direttore creativo
Direttore creativo di sali-math-arts
Matematico, designer
supporta matematicamente la creazione del design
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